CONVERGÊNCIA FORTE DO MÉTODO DAS PROJEÇÕES ALTERNADAS

Abstract

RESUMO: Neste trabalho, estudamos condições necessárias e suficientes para a convergência forte do m´método de projeções alternadas em espaços de Hadamard. Este resultado é novo mesmo no contexto de espaços de Hilbert. Em particular, encontramos condições em que a sequência gerada pela iteração de um ponto por projeções converge fortemente e respondemos parcialmente à questão principal que motivou o artigo de Bruck (veja J Math Anal Appl 88:319-322, 1982). Aplicamos essa condição para generalizar o teorema de Prager para variedades de Hadamard e generalizar o teorema de Sakai para uma grande classe de sequências que possui medida total com respeito `a medida de Bernoulli. Em particular, respondemos a um problema que estava em aberto há muito tempo, relacionado à convergência forte do método de projeções sucessivas em espaços de Hilbert (veja J. Convex Anal. 16, 633–640, 2009). Além disso, estudamos o método de projeções alternadas para uma sequência decrescente de conjuntos convexos e fechados encaixados em variedades de Hadamard e obtemos uma prova alternativa para a convergência do método do ponto proximal. Em espaços p-uniformemente convexos estudamos uma versão generalizada do clássico método das projeções alternadas para operadores firmemente não-expansivos e encontramos condições suficientes para a convergência forte desse método. ABSTRACT: In this work, we provide a necessary and sufficient condition under which the method of alternating projections on Hadamard spaces converges strongly. This result is new even in the context of Hilbert spaces. In particular, we find the circumstance under which the sequence generated by iteration of a point by projections converges strongly and we answer partially the main question that motivated Bruck’s paper (see J. Math Anal Appl 88:319-322, 1982). We apply this condition to generalize Prager’s theorem for Hadamard manifolds, and generalize Sakai’s theorem for a larger class of the sequences with full measure with respect to the Bernoulli measure. In particular, we answer to a long-standing open problem concerning to the convergence of the successive projection method (see J. Convex Anal. 16, 633–640, 2009). Furthermore, we study the method of alternating projections for a nested decreasing sequence of convex and closed sets on Hadamard manifolds and we obtain an alternative proof of the convergence of the proximal point method. In p-uniformly convex spaces we study a generalized version of the classical method of alternating projections for firmly nonexpansive mappings and find sufficient conditions for the strong convergence of this method.