MATRIZES DE NORMA MÍNIMA SATISFAZENDO CERTAS RESTRIÇÕES DO TIPO BANDA E ESPECTRAIS - caracterização extrema do operador Laplaciano discreto e periódico.

Abstract

RESUMO: O operador Laplaciano discreto e peri odico que denotaremos por L e de nido como a matriz circulante n n cuja primeira linha e dada pelo vetor (2,-1, 0, . . . , 0,-1). Considerando n > 4 e par, temos como propriedades imediatas de L as seguintes: P1: L e uma matriz tridiagonal (periodicamente estendida); P2: L e uma matriz semi-de nida positiva; P3: L possui os dois seguintes autopares (autovetor, autovalor): (e, 0) e (f, 4), ou seja, Le = 0 e Lf = 4f, onde os vetores e e f s~ao, respectivamente, o vetor de 1's e o vetor que alterna 1's e -1's. Uma propriedade menos evidente de L e P4 (caracteriza c~ao extrema): L possui norma Euclidiana m nima dentre todas as matrizes satisfazendo as propriedades P1, P2 e P3. Motivados por esta peculiaridade da matriz L abordamos neste trabalho a seguinte quest~ao (problema de minimiza c~ao): Mantendo-se as propriedades P2 e P3 qual e a matriz de norma Euclidiana m nima se P1 (largura de banda b = 3) for substitu da por largura de banda pentadiagonal (b = 5), heptadiagonal (b = 7), . . . , b = n + 1 ? Primeiramente, mostra-se que a matriz solu c~ao deste problema para uma largura de banda b qualquer (entre 3 e n + 1) e tamb em circulante. Depois disto, prova-se que a determina c~ao de primeira linha desta matriz circulante consiste em resolver um problema de m nimos quadrados tendo n 2 - 1 vari aveis que devem ser n~ao negativas (ou seja, restritas ao primeiro ortante) e sujeitas a n+1-b 2 equa c~oes lineares. Solu c~oes exatas deste problema de minimiza c~ao s~ao dadas para os casos especiais b = 3 (Laplaciano), b = 5 e b = n + 1. A solu c~ao para o caso pentadiagonal (b = 5) pode ser sicamente interpretada como um problema (inverso) de encontrar dois valores k1 e k2 de rigidez de um sistema massa-mola circular que seja est avel e com soma do quadrado dos autovalores m nima possuindo dois tipos de molas. Tipo 1: liga vizinhos pr oximos com rigidez k1; Tipo 2: liga vizinhos de vizinhos mais pr oximos com rigidez k2. Interessantemente, obt em-se k2 < 0 (negative sti ness). Um algoritmo MatLab e implementado e solu c~oes num ericas s~ao ilustradas por gr a cos para os seis casos (b = 3, 5, 7, 9, 11 e 13) que correspondem a n = 12...............ABSTRACT: By the discrete and periodic Laplacian operator we mean the n by n circulant matrix whose rst row is given by (2,-1, 0, . . . , 0,-1). Denoting it by L and considering n even and greater or equal to 4, L has the following three immediate properties: P1: The operator L is a tridiagonal (periodic extended); P2: L is a positive semi-de nite matrix; P3: L has eigenpairs (eigenvector, eigenvalue): (e, 0) and (f, 4). That means Le = 0 and Lf = 4f, where e and f are, respectively, the vector of 1's and the vector alternating 1's and -1's. A less immediate property of L is P4 (extremal characterization): L has minimum norm among all matrices satisfying the proprieties P1, P2, and P3. Motivating by this peculiarity of L, we address the following question (minimization problem): Which is the minimum-norm matrix if we keep the properties P2 and P3 but replace P1 (bandwidth b = 3) by bandwidth b = 5 (pentadiagonal), bandwidth b = 7 (heptadiagonal), . . . , b = n + 1? First, we easily show that the solution of this problem must still be a circulant matrix. Then the determination of the rst row of this circulant matrix consists in solving a least-squares problem having (n - 2)=2 nonnegative variables (Nonnegative Orthant) subject to (n+1 - b)=2 linear equations. Exact solutions for this minimization problem are given for the special cases of b = 3 (Laplacian), b = 5, and b = n + 1. The solution for the particular case of b = 5 can be physically interpreted as the (inverse) problem of nding the sti nesses k1 and k2 of a ring-like spring-mass system (with two types of springs) having minimum square sum of eigenvalues and satisfying the properties P1 with b = 5 instead of b = 3 (springs of type 1 link the nearest neighbors point masses whereas those of type 2 links next-nearest neighbors ones), P2 (stability of the system) and P3 (two vibrational modes are xed). Interestingly, we obtain k2 < 0 (negative sti ness). A Matlab algorithm is presented and used to get numerical illustration of the six cases (b = 3, b = 5, b = 7, b = 9, b = 11, and b = 13) corresponding to n = 12.