SOBRE HIPERSUPERFÍCIES EM ESPAÇOS CONFORMEMENTE PLANOS E RIGIDEZ DE SUPERFÍCIES CAPILARES

Abstract

RESUMO: Na primeira parte deste trabalho investigamos hipersuperfícies helicoidais em uma variedade Riemanniana, que é o espaço Euclidiano munido de uma métrica conformemente plana, e mostramos que uma hipersuperfície helicoidal é mínima neste espaço. Construımos uma família a 2-parâmetros de superfícies helicoidais com curvatura média prescrita em um espaço tridimensional conformemente plano com métricas cilíndricas gerais. Finalmente, damos uma caracterização para uma classe de superfícies translacionais mínimas em um espaço tridimensional conformemente plano. Na segunda parte, investigamos a geometria de gráficos translacionais generalizados (GTG) imersos no espaço Euclidiano equipado com uma métrica conforme a métrica Euclidiana e obtemos resultados que caracterizam tais hipersuperfícies. Aplicando os resultados de caracterização e usando técnicas de resolução de EDO, construímos exemplos de GTG satisfazendo propriedades geométricas não válidas em relação a métrica Euclidiana. Na terceira parte, obtemos uma estimativa precisa para o comprimento L(∂Σ) do bordo ∂Σ de uma superfície capilar mínima Σ2 em M3, onde M é uma variedade compacta tridimensional com bordo estritamente convexo, assumindo que Σ tem índice um. A estimativa é em termos do gênero de Σ, do número de componentes conexas de ∂Σ e do ângulo de contato θ. Fazendo uma suposição extra sobre a geometria de M ao longo de ∂M, caracterizamos a geometria global de M, que é atingida apenas pelas bolas Euclidianas tridimensionais. Para superfícies CMC capilares estáveis, também obtemos resultados semelhantes. ABSTRACT: In the first part of this work we investigate helicoidal hypersurfaces in a Riemannian manifold, which is the Euclidean space endowed with a conformally flat metric, and we show that a helicoidal hypersurface is minimal in this space. We build a 2-parameter family of helicoidal surfaces with prescribed mean curvature in a confroamlly flat 3-space with general cylindrial metrics. Finally, we give a characterization for a class of minimal translation surfaces in a conformally flat 3-space. In the second part we investigate the geometry of generalized translation graph (GTG) immersed in Euclidean space equipped with a metric conformal to Euclidean metric and obtain results that characterize such hypersurfaces. Applying the characterization results, and using ODE solving techniques, we build examples of GTG satisfying geometric properties not valid in relation to the Euclidean metric. In the third part, we obtain one sharp estimate for the length L(∂Σ) of the boundary ∂Σ of a capillary minimal surface Σ2 in M3, where M is a compact 3-manifold with strictly convex boundary, by assuming that Σ has index one. The estimate is obtained in term of the genus of Σ, the number of connected components of ∂Σ and the contact angle θ. By making an additional assumption on the geometry of M along ∂M we characterize the global geometry of M, which is achieved only by the 3-dimentional Euclidean ball. For capillary stable CMC surfaces we also obtain similar results.