PARABOLICIDADE EM VARIEDADES COM BORDO E APLICAÇÕES

Abstract

RESUMO: Neste trabalho investigamos o conceito de parabolicidade em variedades Riemannianas completas com bordo. Caracterizações em termos da capacidade, do princípio do máximo de Ahlfors e do critério integral de Kelvin-Nevanlinna-Royden são estudados, além da relação com a existência do núcleo de Green com dado de bordo to tipo Neumann ou Dirichlet. Contribuições à Geometria Diferencial são dadas em termos de estimativas de altura e resultados do tipo slice para gráficos com curvatura média constante definidos em domínios ilimitados. Do ponto de vista da Teoria do Potencial, apresentamos condições analítico-geométricas suficientes para a validade da propriedade L1-Liouville para funções superharmônicas positivas. Ademais, através das técnicas aqui estudadas são exibidos exemplos de variedades estocasticamente incompletas que satisfazem a propriedade L1-Liouville. ABSTRACT: In this work we investigate the concept of parabolicity in Riemannian manifolds complete with boundary. Characterizations in terms of capacity, the Ahlfors maximum principle and the Kelvin-Nevanlinna-Royden integral criterion are studied, besides the relationship with the existence of the Green kernel with Neumann or Dirichlet boundary data. Contributions to Differential Geometry are given in terms of height estimates and slice type results for graphs with constant mean curvature defined in unbounded domains. From the potential theoretic point of view we present sufficient analytical and geometric conditions for the validity of the L1-Liouville property for positive superharmonic functions. Furthermore, through the techniques studied here, examples of stochastically incomplete manifolds that satisfy the L1-Liouville property are shown.