TEOREMA DE MENELAUS E DE CEVA: apresentação, demonstração e aplicação.

Abstract

RESUMO: O objetivo principal desse trabalho é a apresentação dos Teoremas de Menelaus e de Ceva, e como se relacionam. O primeiro trata da colinearidade de três pontos sobre as retas suportes dos lados de um triângulo. O segundo se refere à concorrência de três segmentos que unem cada vértice a qualquer ponto do lado oposto de um triângulo. Inicialmente faremos uma breve exposição das biografias e obras dos criadores desses teoremas, os matemáticos, Menelaus (ano 100 d.c) e Ceva (1648), que apesar de 15 séculos de diferença de seus nascimentos, tem seus nomes interligados a esses dois importantes teoremas. Destacaremos de forma pontual algumas definições básicas de geometria euclidiana, relacionadas aos triângulos, como: proporcionalidade de segmentos, congruência e semelhança de triângulos, cálculo de áreas e trigonometria. Depois será exposto, de forma detalhada para facilitar o entendimento dos alunos e professores do ensino médio, as diferentes apresentações e demonstrações do Teorema de Menelaus e de Ceva, mostrando que são elementares e de fácil assimilação pelos os alunos, motivando, assim, a abordagem desse tema em sala de aula. Ao final faremos outras considerações sobre os teoremas, com a finalidade de mostrar sua abrangência, e apresentaremos algumas aplicações de questões de concursos e de olimpíadas relacionadas com os Teoremas de Menelaus e de Ceva. ------------------------ABSTRACT: The main objective of this work is the presentation of theorems of Menelaus and Ceva, and how they relate. The rst addresses the collinearity of three points on the straight brackets of the sides of a triangle. The second relates to competition three segments joining each vertex to any point on the opposite side of a triangle. Initially we will make a brief presentation of the biographies and works of the creators of these theorems, mathematicians, Menelaus (year 100 a.c) and Ceva (1648), who despite 15 centuries of their births di erence, have their names linked to these two important theorems . We highlight in a timely manner some basic de nitions of Euclidean geometry, related to triangles, such as proportionality segments, congruence and similarity of triangles, areas of calculus and trigonometry. Then it will be exposed in detail to facilitate understanding of students and high school teachers, the various presentations and demonstrations of Menelaus theorem and Ceva, showing that they are elementary and easy assimilation by the students, motivating thus approach this issue in the classroom. At the end we will make further consideration of the theorems, in order to show its scope, and present some applications contests issues and Olympics of Mathematics related to theorems of Menelaus and Ceva.