http://hdl.handle.net/123456789/3129 Sat, 18 Apr 2026 13:11:52 GMT 2026-04-18T13:11:52Z http://hdl.handle.net/123456789/3130 CONVERGÊNCIA FORTE DO MÉTODO DAS PROJEÇÕES ALTERNADAS BRITO, José Márcio Machado de RESUMO: Neste trabalho, estudamos condições necessárias e suficientes para a convergência forte do m´método de projeções alternadas em espaços de Hadamard. Este resultado é novo mesmo no contexto de espaços de Hilbert. Em particular, encontramos condições em que a sequência gerada pela iteração de um ponto por projeções converge fortemente e respondemos parcialmente à questão principal que motivou o artigo de Bruck (veja J Math Anal Appl 88:319-322, 1982). Aplicamos essa condição para generalizar o teorema de Prager para variedades de Hadamard e generalizar o teorema de Sakai para uma grande classe de sequências que possui medida total com respeito `a medida de Bernoulli. Em particular, respondemos a um problema que estava em aberto há muito tempo, relacionado à convergência forte do método de projeções sucessivas em espaços de Hilbert (veja J. Convex Anal. 16, 633–640, 2009). Além disso, estudamos o método de projeções alternadas para uma sequência decrescente de conjuntos convexos e fechados encaixados em variedades de Hadamard e obtemos uma prova alternativa para a convergência do método do ponto proximal. Em espaços p-uniformemente convexos estudamos uma versão generalizada do clássico método das projeções alternadas para operadores firmemente não-expansivos e encontramos condições suficientes para a convergência forte desse método. ABSTRACT: In this work, we provide a necessary and sufficient condition under which the method of alternating projections on Hadamard spaces converges strongly. This result is new even in the context of Hilbert spaces. In particular, we find the circumstance under which the sequence generated by iteration of a point by projections converges strongly and we answer partially the main question that motivated Bruck’s paper (see J. Math Anal Appl 88:319-322, 1982). We apply this condition to generalize Prager’s theorem for Hadamard manifolds, and generalize Sakai’s theorem for a larger class of the sequences with full measure with respect to the Bernoulli measure. In particular, we answer to a long-standing open problem concerning to the convergence of the successive projection method (see J. Convex Anal. 16, 633–640, 2009). Furthermore, we study the method of alternating projections for a nested decreasing sequence of convex and closed sets on Hadamard manifolds and we obtain an alternative proof of the convergence of the proximal point method. In p-uniformly convex spaces we study a generalized version of the classical method of alternating projections for firmly nonexpansive mappings and find sufficient conditions for the strong convergence of this method. Orientador: Prof. Dr. João Xavier da Cruz Neto Co-orientador: Prof. Dr. Ítalo Dowell Lira Melo Examinador Interno: Prof. Dr. João Carlos de Oliveira Souza Examinadora Externa: Profa. Dra. Elizabeth Wegner Karas-UFPR Examinador Externo: Prof. Dr. Glaydston e Carvalho Bento-UFG Tue, 17 Jan 2023 00:00:00 GMT http://hdl.handle.net/123456789/3130 2023-01-17T00:00:00Z http://hdl.handle.net/123456789/3128 MÉTODOS DE PONTO PROXIMAL PARA DIFERENÇA DE CAMPOS VETORIAIS MONÓTONOS MAXIMAIS EM VARIEDADES DE HADAMARD ANDRADE, João Santos RESUMO: Neste trabalho, apresentamos dois métodos do ponto proximal para encontrar zeros de campos de vetores possivelmente não-monótonos que são escritos como diferença de dois campos monótonos maximais em variedades de Hadamard. O primeiro método é uma extensão natural do método do ponto proximal para diferença de funções convexas e que generaliza o método do ponto proximal para campos vetoriais monótonos maximais. O segundo método é uma versão inercial do primeiro e ´e novo inclusive no contexto monótono em variedades de Hadamard. Para ambos os métodos, provamos que, caso existam, os pontos de acumulação da sequência gerada pelos algoritmos são soluções do problema. Com hipóteses adicionais razoáveis, estabelecemos condições suficientes para limitação e convergência global da sequência. Alguns experimentos numéricos ilustram os resultados obtidos. ABSTRACT: In this work, we present two proximal point methods to find zeros of possibly nonmonotone vector fields which are written as the difference of two maximal monotone fields in Hadamard manifolds. The first method is a natural extension of the proximal point method for difference of convex functions and which generalizes the proximal point method for maximal monotone vector fields. The second method is an inertial version of the first one and it is new even in the monotone context in Hadamard manifolds. For both methods, we prove that every cluster point of the sequences generated by the algorithms, if any, are solutions of the problem. Under reasonable additional hypotheses, we establish sufficient conditions for boundedness and global convergence of the sequence. Some numerical experiments illustrate the results obtained. Orientador: Prof. Dr. Jurandir de Oliveira Lopes Co-Orientador: Prof. Dr. João Carlos de Oliveira Souza Examinador Interno: Prof. Dr. João Xavier da Cruz Examinadora Externa: Profa. Dra. Márcia Helena Costa Fampa-UFRJ Examinador Externo: Prof. Dr. Jefferson Divino Gonçalves de Melo-UFG Tue, 17 Jan 2023 00:00:00 GMT http://hdl.handle.net/123456789/3128 2023-01-17T00:00:00Z http://hdl.handle.net/123456789/3127 SOBRE HIPERSUPERFÍCIES EM ESPAÇOS CONFORMEMENTE PLANOS E RIGIDEZ DE SUPERFÍCIES CAPILARES VIEIRA, Bruno Vasconcelos Mendes RESUMO: Na primeira parte deste trabalho investigamos hipersuperfícies helicoidais em uma variedade Riemanniana, que é o espaço Euclidiano munido de uma métrica conformemente plana, e mostramos que uma hipersuperfície helicoidal é mínima neste espaço. Construımos uma família a 2-parâmetros de superfícies helicoidais com curvatura média prescrita em um espaço tridimensional conformemente plano com métricas cilíndricas gerais. Finalmente, damos uma caracterização para uma classe de superfícies translacionais mínimas em um espaço tridimensional conformemente plano. Na segunda parte, investigamos a geometria de gráficos translacionais generalizados (GTG) imersos no espaço Euclidiano equipado com uma métrica conforme a métrica Euclidiana e obtemos resultados que caracterizam tais hipersuperfícies. Aplicando os resultados de caracterização e usando técnicas de resolução de EDO, construímos exemplos de GTG satisfazendo propriedades geométricas não válidas em relação a métrica Euclidiana. Na terceira parte, obtemos uma estimativa precisa para o comprimento L(∂Σ) do bordo ∂Σ de uma superfície capilar mínima Σ2 em M3, onde M é uma variedade compacta tridimensional com bordo estritamente convexo, assumindo que Σ tem índice um. A estimativa é em termos do gênero de Σ, do número de componentes conexas de ∂Σ e do ângulo de contato θ. Fazendo uma suposição extra sobre a geometria de M ao longo de ∂M, caracterizamos a geometria global de M, que é atingida apenas pelas bolas Euclidianas tridimensionais. Para superfícies CMC capilares estáveis, também obtemos resultados semelhantes. ABSTRACT: In the first part of this work we investigate helicoidal hypersurfaces in a Riemannian manifold, which is the Euclidean space endowed with a conformally flat metric, and we show that a helicoidal hypersurface is minimal in this space. We build a 2-parameter family of helicoidal surfaces with prescribed mean curvature in a confroamlly flat 3-space with general cylindrial metrics. Finally, we give a characterization for a class of minimal translation surfaces in a conformally flat 3-space. In the second part we investigate the geometry of generalized translation graph (GTG) immersed in Euclidean space equipped with a metric conformal to Euclidean metric and obtain results that characterize such hypersurfaces. Applying the characterization results, and using ODE solving techniques, we build examples of GTG satisfying geometric properties not valid in relation to the Euclidean metric. In the third part, we obtain one sharp estimate for the length L(∂Σ) of the boundary ∂Σ of a capillary minimal surface Σ2 in M3, where M is a compact 3-manifold with strictly convex boundary, by assuming that Σ has index one. The estimate is obtained in term of the genus of Σ, the number of connected components of ∂Σ and the contact angle θ. By making an additional assumption on the geometry of M along ∂M we characterize the global geometry of M, which is achieved only by the 3-dimentional Euclidean ball. For capillary stable CMC surfaces we also obtain similar results. Orientador: Prof. Dr. Barnabé Pessoa Lima Examinador Interno: Prof. Dr. Paulo Alexandre Araújo Sousa Examinador Interno: Prof. Dr. Rondinelle Marcolino Batista Examinador Externo: Prof. Dr. Ernani de Sousa Ribeiro Júnior-UFC Examinador Externo: Prof. Dr. Luquésio Petrola de Melo Jorge-UFC Tue, 17 Jan 2023 00:00:00 GMT http://hdl.handle.net/123456789/3127 2023-01-17T00:00:00Z