Abstract:
RESUMO: Este trabalho tem como objetivo principal abordar resultados relacionados às estimativas para o primeiro autovalor _J 1 do operador de Jacobi J em hipersuperfícies com curvatura média H constante na esfera unitária Sn+1(1). Preliminarmente, fizemos uma abordagem sobre as estimativas já desenvolvidas anteriormente por James Simons (1968), para hipersuperfícies mínimas não totalmente geodésicas, isto é, _J 1 6 -n e a igualdade ocorre se, e somente se, é isomorfa a um toro. Em seguida Chuanxi Wu (1993) melhorou a estimativa para hipersuperfície não totalmente geodésica, mostrando que _J 1 6 -2n, e a igualdade ocorre se, e somente se a hipersuperfície é toro de Clifford. Perdomo (2001) prova o mesmo que Wu, mas usando um método diferente. Por último, Alias Barros e Brasil, mostram que em hipersuperfícies com curvatura média constante, para n = 2, essas estimativas dependem da curvatura, da dimensão e da imersão. A essência dos resultados teve como referência principal o trabalho de Daguang Chen e Qing-Ming Cheng, onde se mostra um limite superior ótimo para o primeiro autovalor do operador de Jacobi numa hipersuperfície compacta não totalmente umbílica com curvatura média constante dependendo apenas da curvatura média e da dimensão, não sendo necessária a dependência da imersão. As equações de Gauss, Codazzi, Ricci e o Laplaciano da segunda forma fundamental são abordados preliminarmente nesse estudo. ABSTRACT: This work has as main objective to approach results related to the estimates for the first eigenvalue _J 1 of Jacobi operator J on an n-dimensional non-totally umbilical compact hypersurface with constant mean curvature H in the unit sphere Sn+1(1). Preliminarily, we have taken an approach on the estimates already developed previously by James Simons (1968), for minimally not totally geodesic hypersurfaces, that is, _J 1 6 -n and equality occurs if, and only if, is isomorphic to a torus. Then Chuanxi Wu (1993) improved the estimate for non-fully geodesic hypersurface, showing that _J 1 6 -2n, and equality occurs if and only if the hypersurface is Clifford's torus. Perdomo (2001) proves the same as Wu, but using a different method. Finally, Alias, Barros and Brasil, show that in hypersurfaces with curvature mean constant, for n = 2, these estimates depend on the curvature, the dimension and the immersion. The essence of the results had as main reference the work of Daguang Chen and Qing-Ming Cheng (2017) where they present an optimal upper bound for the first eigenvalue of Jacobi operator, on an n-dimensional nontotally umbilical compact hypersurface with constant mean curvature which only depends on the mean curvature H and the dimension n, not being dependent of the immersion. The equations of Gauss, Codazzi, Ricci and Laplacian of the second fundamental form also discussed in this study.
